Wat zijn de standaard integralen van wortel (x2+a2)

Total
0
Shares
Wat zijn de standaard integralen van wortel (x2+a2)

Wat zijn de standaard integralen van wortel (x2+a2)


Integralen van √(x2+a2)

Binnen de wiskunde hebben we veelal te maken met standaard afgeleiden en integralen zoals die bijvoorbeeld op de “blauwe kaart” staan aangegeven met “veel gebruikte functies en formules”. Die lijst is ten aanzien van de standaard integralen vrij beperkt. Je kunt hier enkele van de meest voorkomende standaard integralen vinden aangaande de relatie √(x2+a2).


Hoe kun je het bepalen? Enkele voorbeelden

Om de integralen te kunnen bepalen dien een en ander te worden herleid. Denk bijvoorbeeld aan de volgende voorbeelden:

  • ∫ x*√(x2+a2) dx;
  • stel x2+a2 = u -> dx2 = du -> 2x*dx = du -> dx = 1/(2*x)*du;
  • ∫ x/(2*x) *√u du = 1/2 * ∫ u1/2 du = 1/2*2/3* u3/2 = 1/3*(x2+a2)3/2 = 1/3*(x2+a2)*√(x2+a2).

  • ∫ x*[(x2+a2)*√(x2+a2)] dx = ∫ x*(x2+a2)3/2 dx;
  • stel x2+a2 = u -> dx = 1/(2*x)*du;
  • ∫ x/(2*x)*(u)3/2 du = ∫ 1/2*u3/2 du = 1/2*2/5*u5/2 = 1/5*(x2+a2)5/2 = 1/5*(x2+a2)2 *√(x2+a2).

  • ∫ x / √(x2+a2) dx = ∫x/[(2x)*u1/2] du;
  • ∫ 1/[2*u1/2] du = ∫ 1/2*u-1/2 du = (1/2)/(1/2) * u1/2 = (x2+a2)1/2 = √(x2+a2).

  • ∫ x / [(x2+a2)*√(x2+a2)] dx = * ∫ x / (x2+a2)3/2 dx = ∫ x/(2*x) * u-3/2 du;
  • ∫ 1/2 * u-3/2 du = (1/2)/(-1/2) * u-1/2 = -1 / (x2+a2)1/2 = – 1/[√(x2+a2)].

Noodzaak teller/noemer tot 1 beperken

Binnen het bepalen van de integraaluitkomst voor √(x2+a2) is dat de teller/noemer bij x2 altijd 1 is. Je moet de relatie altijd zodanig herleiden dat het getal bij de a terecht komt. Denk bijvoorbeeld aan ∫√(1+1/36*x2) dan moet 1/36 daar vandaan worden gehaald. Dit kan door binnen de wortel met 36 te vermenigvuldigen oftewel ∫√(36+x2) echter je moet de factor 1/36 ook buiten de wortel toepassen om het oorspronkelijke antwoord terug te krijgen, oftewel: 1/6*∫√(36+x2) = 1/6*∫√(x2+62) zodat de standaard formules weer van toepassing zijn. Wat zijn de aanvulling op de blauw kaart ten aanzien van integralen met √(x2+a2) als oorsprong?

Aanvulling op blauwe kaart

Om de uitkomst van bepaalde integralen handig te kunnen bepalen kun je gebruik maken van de volgend standaard lijst. Hiermee kun je de meeste integraalrelaties op basis van √(x2+a2) oplossen:

  • ∫ √(x2+a2) dx = 1/2*x*√(x2+a2)+1/2*a2*ln(x+√(x2+a2));
  • ∫ √(x2+a2)/x dx = √(x2+a2) – a*ln[(a+√(x2+a2))/x];
  • ∫ √(x2+a2)/x2 dx = -1/x * √(x2+a2) + ln[(a+√(x2+a2))];
  • ∫ x√(x2+a2) dx = 1/3*(x2+a2)*√(x2+a2);
  • ∫ x2√(x2+a2) dx = 1/4*x*(x2+a2)*√(x2+a2)-1/8*a2*x*√(x2+a2)-1/8*a4*ln(x+√(x2+a2));
  • ∫ x3√(x2+a2) dx = 1/5*(x2+a2)2*√(x2+a2)-1/3*a2*(x2+a2)*√(x2+a2);
  • ∫ x*[(x2+a2)*√(x2+a2)] dx = 1/5*(x2+a2)2*√(x2+a2);
  • ∫ x2*[(x2+a2)*√(x2+a2)] dx = 1/6*x*(x2+a2)2*√(x2+a2)-1/24*a2*x*[(x2+a2)*√(x2+a2)];
  • ∫ [(x2+a2)*√(x2+a2)] dx = 1/4*x*[(x2+a2)*√(x2+a2)] + 3/8*a2*x*√(x2+a2)]+3/8*a4*ln*(x+√(x2+a2));
  • ∫ [(x2+a2)*√(x2+a2)]/x dx = 1/3*[(x2+a2)*√(x2+a2)]+a2*√(x2+a2) – a3*ln[(a+√(x2+a2))/x];
  • ∫ [(x2+a2)*√(x2+a2)]/x2 dx = -1/x*[(x2+a2)*√(x2+a2)] + 1,5*x*√(x2+a2)]+1,5*a2*ln(x+√(x2+a2));
  • ∫ 1 / √(x2+a2) dx = ln ( x+√(x2+a2)) (blauwe kaart);
  • ∫ 1 / (x*√(x2+a2) dx = -1/a * ln [(a+√(x2+a2))/x];
  • ∫ 1 / (x2*√(x2+a2) dx = -√(x2+a2)/(a2*x);
  • ∫ 1 / (x3*√(x2+a2) dx = -√(x2+a2)/(2a2*x2) + 1/(2*a3)*ln[(a+√(x2+a2))/x];
  • ∫ x / √(x2+a2) dx = √(x2+a2);
  • ∫ x2 / √(x2+a2) dx = 1/2*x*√(x2+a2) – 1/2*a2* ln(x+√(x2+a2));
  • ∫ x3 / √(x2+a2) dx = 1/3*(x2+a2)*√(x2+a2) – a2*√ (x2+a2);
  • ∫ 1 / [(x2+a2)*√(x2+a2)] dx = x / [a2*√(x2+a2)];
  • ∫ 1 / [x2*(x2+a2)*√(x2+a2)] dx = -√(x2+a2) / (a4*x) – x/(a4*√(x2+a2));
  • ∫ 1 / [x3*(x2+a2)*√(x2+a2)] dx = -1/ [ 2*a2*x2*√(x2+a2)] – 1,5/[a4*√(x2+a2)+1,5/a5 *ln[(a+√(x2+a2))/x];
  • ∫ x / [(x2+a2)*√(x2+a2)] dx = -1 / √(x2+a2);
  • ∫ x2 / [(x2+a2)*√(x2+a2)] dx = -x / √(x2+a2) + ln* ln(x+√(x2+a2));
  • ∫ x3 / [(x2+a2)*√(x2+a2)] dx = √(x2+a2) + a2/√(x2+a2).

Maak gebruik van deze formules om snel en eenvoudig de juiste integraal uitkomst voor de √(x2+a2) te verkrijgen.

Lees verder suggesties:

Wat houdt het zwaartepunt in?: kruispunt van neutrale lijnen

Artikel partner:

Hoe kun je de uitkomst van (a+b)^n gemakkelijk bepalen?

Bron:

Wiskunde voor het Hoger Onderwijs deel I, R. van Asselt, C.A.G Kooten, ed, Groningen, 2002

http://www.sosmath.com/tables/integral/integ11/integ11.html





 

Geef een antwoord

Het e-mailadres wordt niet gepubliceerd.

Dit vind je misschien ook leuk